WolframAlpha - ponownie

Home

Rzadko zdarza się aby jakieś narzędzie zaskakiwało mnie tak często i tak przyjemnie jak WolframAlpha (pisałem już o nim tutaj lub tutaj). Po prostu kiedy potrzebuję coś policzyć, sprawdzić i szukam programu lub strony, która to dla mnie zrobi to bardzo często wracam właśnie do WolframAlpha.

Tym razem potrzebował czegoś, co wyznaczy mi linię trendu czyli nic dodać nic ująć tylko tzw. prosta regresja liniowa. Okazało się, że w WolframAlpha służy do tego komenda linear fit. Linia prosta to oczywiście bardzo prosty model, który nie zawsze będzie dobrze działać, ale przy tej okazji odkryłem, że WolframAlpha wspiera również bardziej zaawansowane modele, na przykład komenda cubic fit generuje model w postaci równania trzeciego stopnia. Po więcej przykładów odsyłam do tej strony, zachęcam do zapoznania się i własnych poszukiwań.

A do czego takie modele mogą się przydać? Na przykład do predykcji cen, długości życia w zależności od różnych czynników, liczby odwiedzin strony...

Ciekawa metoda obliczenia pierwiastka kwadratowego

Home

Istnieje wiele metod wyznaczania pierwiastka kwadratowego z liczb naturalnych. Ja napiszę o jednej, która mnie ostatnio urzekła i pokazuje piękno matematyki.

Otóż, wynikiem zastosowania tej metody jest ułamek, który stanowi przybliżenie pierwiastka z danej liczby. Dlaczego tylko przybliżenie? Pierwiastki kwadratowe z liczb naturalnych, nie będących kwadratem innej liczby naturalnej, są liczbami niewymiernymi. Liczb niewymiernych nie da się natomiast zapisać w postaci ułamka.

Metoda ta opiera się o tzw. ułamki łańcuchowe (ang. continued fraction). W skrócie chodzi o to, aby pierwiastek kwadratowy z danej liczby przedstawić w następujący sposób:

sqrt(S) = a0 + 1 / (a1 + 1 / (a2 + 1 / (a3 + 1 / (...))))

Nim dłuższa sekwencja tym otrzymamy dokładniejsze przybliżenie. Co bardzo ciekawe, dla każdej liczby niewymiernej sekwencja wartości a0, a1, a2... w pewnym momencie stworzy cykl. Na przykład dla sqrt(2) sekwencja ta ma postać:

[1, 1, 2, 1, 2, ...]

Natomiast dla sqrt(53):

[7, 3, 1, 1, 3, 14, 3, 1, 1, 3, 14, ...].

Jak wyznaczyć taką sekwencję? Algorytm nie jest bardzo skomplikowany i można go zapisać w kilkunastu liniach kodu. Nie będą go jednak tutaj przytaczał, ponieważ doskonały opis znajduje się już na Wikipedii. Zachęcam do wypróbowania swoich sił i jego zaimplementowania.

Skorzystać możemy również z silnika Wolframalpha. Komenda continued fraction sqrt(X) zwróci nam rozwinięcie pierwiastka z danej liczby X w postaci ułamka łańcuchowego. Natomiast komenda convergents[sqrt(X),N] obliczy N pierwszych przybliżeń pierwiastka z danej liczby X w oparciu o opisaną metodę.

Metoda ta z pewnością może przydać się w obliczeniach naukowych, kiedy bardzo istotna jest precyzja obliczeń i operacje na zmiennym przecinku są niedopuszczalne. W takim przypadku powinniśmy wyznaczyć odpowiednio dokładne przybliżenie sqrt(x) w postaci ułamka.

Na przykład ułamek sqrt(3) ~= 13623482 / 7865521 da nam tyle samo poprawnie obliczonych cyfr po przecinku co Math.Pow(3, -0.5). W tym przypadku sekwencja a0, a1, a2... miała 25 elementów. Każdy dodatkowy element sekwencji da nam większą precyzję. W skrajnym przypadku możemy skorzystać ze struktury BigInteger do reprezentacji licznika i mianownika.

Jeśli temat Was zainteresował to polecam rozwiązanie zadania 64, 65 lub 66 ze strony Project Euler.

WolframAlpha

Home

WolframAlpha to ambitny projekt stworzenia silnika, który umiałby odpowiadać na pytania wyrażone w języku naturalnym, a co więcej odpowiedzią nie byłaby sucha lista stron w Internecie, ale zbiór faktów stanowiących odpowiedź na pytanie. O tym przedsięwzięciu wiedziałem już od dłuższego czasu, ale traktowałem je raczej jako nowinkę i go nie używałem.

Ostatnio kolega zwrócił mi jednak uwagę na możliwość rozwiązywania równań przy pomocy tego silnika. Od tej pory przestałem traktować go tylko jako ciekawostkę i jest pod ogromnym wrażeniem tego projektu, zastosowanych w nim algorytmów, no i oczywiście umiejętności programistów.

Może mały przykład. Jakiś czas temu inny kolega wysłał mail'a z zaproszeniem do poczęstunku z okazji urodzin, ale swój wiek podał w taki oto sposób:



Prawa część równania nie stworzy chyba nikomu problemów. Gorzej jednak z tą całką i sumą szeregu matematycznego, chociaż wyglądają znajomo. Kiedy byłem świeżo po kursie analizy matematycznej pewnie obudzony w środku nocy, po libacji alkoholowej, podałbym wynik bez zastanowienia ;) Teraz jednak, zamiast przypominać sobie wzory, wklepałem to równanie do WolframAlpha:

sum x = 1 to infinity 1/x^2)/(integral from -1 to 1 (1-x^2)^0.5)^2*(2^2^3 - 2^2^2)/2^2

i w mgnieniu oka uzyskałem wynik. Silnik potrafi również rysować wykresy, rozpoznaje rodzaje funkcji np.: powie, że zadane równanie to paraboloida, liczy pochodne, wyznacza nie tylko wartość całki oznaczonej, ale również potrafi policzyć całkę nieoznaczoną, rozwiązuje równania różniczkowe oraz robi pewnie setki innych rzeczy, o których jeszcze nie mam pojęcia. W każdym razie WolframAlpha na stałe zagości w moim przyborniku.