Ciekawa metoda obliczenia pierwiastka kwadratowego

Home

Istnieje wiele metod wyznaczania pierwiastka kwadratowego z liczb naturalnych. Ja napiszę o jednej, która mnie ostatnio urzekła i pokazuje piękno matematyki.

Otóż, wynikiem zastosowania tej metody jest ułamek, który stanowi przybliżenie pierwiastka z danej liczby. Dlaczego tylko przybliżenie? Pierwiastki kwadratowe z liczb naturalnych, nie będących kwadratem innej liczby naturalnej, są liczbami niewymiernymi. Liczb niewymiernych nie da się natomiast zapisać w postaci ułamka.

Metoda ta opiera się o tzw. ułamki łańcuchowe (ang. continued fraction). W skrócie chodzi o to, aby pierwiastek kwadratowy z danej liczby przedstawić w następujący sposób:

sqrt(S) = a0 + 1 / (a1 + 1 / (a2 + 1 / (a3 + 1 / (...))))

Nim dłuższa sekwencja tym otrzymamy dokładniejsze przybliżenie. Co bardzo ciekawe, dla każdej liczby niewymiernej sekwencja wartości a0, a1, a2... w pewnym momencie stworzy cykl. Na przykład dla sqrt(2) sekwencja ta ma postać:

[1, 1, 2, 1, 2, ...]

Natomiast dla sqrt(53):

[7, 3, 1, 1, 3, 14, 3, 1, 1, 3, 14, ...].

Jak wyznaczyć taką sekwencję? Algorytm nie jest bardzo skomplikowany i można go zapisać w kilkunastu liniach kodu. Nie będą go jednak tutaj przytaczał, ponieważ doskonały opis znajduje się już na Wikipedii. Zachęcam do wypróbowania swoich sił i jego zaimplementowania.

Skorzystać możemy również z silnika Wolframalpha. Komenda continued fraction sqrt(X) zwróci nam rozwinięcie pierwiastka z danej liczby X w postaci ułamka łańcuchowego. Natomiast komenda convergents[sqrt(X),N] obliczy N pierwszych przybliżeń pierwiastka z danej liczby X w oparciu o opisaną metodę.

Metoda ta z pewnością może przydać się w obliczeniach naukowych, kiedy bardzo istotna jest precyzja obliczeń i operacje na zmiennym przecinku są niedopuszczalne. W takim przypadku powinniśmy wyznaczyć odpowiednio dokładne przybliżenie sqrt(x) w postaci ułamka.

Na przykład ułamek sqrt(3) ~= 13623482 / 7865521 da nam tyle samo poprawnie obliczonych cyfr po przecinku co Math.Pow(3, -0.5). W tym przypadku sekwencja a0, a1, a2... miała 25 elementów. Każdy dodatkowy element sekwencji da nam większą precyzję. W skrajnym przypadku możemy skorzystać ze struktury BigInteger do reprezentacji licznika i mianownika.

Jeśli temat Was zainteresował to polecam rozwiązanie zadania 64, 65 lub 66 ze strony Project Euler.

Przykład przeglądu kodu i co z tego wynikło

Home

Jakiś czas temu robiłem przegląd kodu i zwróciłem uwagę na taki fragment implementacji:

public class SrvObject
{
   public int Id { get; set; }
   public string Code { get; set; }
   ...
}
...
private Dictionary<int, SrvObject> _cache = new Dictionary<int, SrvObject>();
...
if (_cache.Values.Any(x => x.Code == codeToFind))
{
   var obj = _cache.Values.FirstOrDefault(x => x.Code == codeToFind);
   ...
}
else
{
   var obj = ReadObject(codeToFind);
   _cache.Add(obj.Id, obj);
   ...
}

Zacznijmy od tego, że mamy klasę, która modeluje jakąś encję z bazy danych i ta encja posiada zarówno identyfikator (wewnętrzny dla systemu) oraz kod, który można na przykład wyświetlić użytkownikowi.

Programista użył słownika, z kluczem w postaci identyfikatora, aby buforować już odczytane z bazy danych encje. Pierwsza rzecz jaka rzuca się w oczy to fakt, że kluczem jest identyfikator, a my wyszukujemy na podstawie kodu co wymaga iterowania po wszystkich zgromadzonych w słowniku obiektach. Wynika to z tego, że w większości przypadków posługujemy się identyfikatorem, a tylko czasami kodem i wspomniany kod został dodany później.

Załóżmy przez chwilę, że jest to ok. Druga rzecz na jaką należy zwrócić uwagę to fakt użycia metody Any i zaraz potem użycie FirstOrDefault. Jest to zbyteczne, kod ten robi dwa razy to samo, wystarczy zastosować tylko FirstOrDefault.

Wróćmy teraz do przeszukiwania słownika na podstawie kodu. Przy pokazanej implementacji musimy w najgorszym wypadku sprawdzić wszystkie obiekty w słowniku co ma złożoność liniową. Przy dużej liczbie obiektów w słowniku i częstych odwołaniach do niego jest to nieefektywne. W takim wypadku należy wprowadzić drugi słownik, w którym kluczem będzie kod. W zależności od sytuacji będziemy używać jednego albo drugiego słownika. Jeśli nie znajdziemy w którymś słowniku szukanego obiektu to dodajemy go do OBU słówników.

Przeprowadziłem mały test obu rozwiązań. Najpierw napisałem trzy metody wyszukujące encje:

• Znajdź na podstawie identyfikatora
• Znajdź na podstawie kodu bez dodatkowego słownika
• Znajdź na podstawie kodu z dodatkowym słownikiem

Początkowo słowniki są puste i generuję pewną liczbę N losowych identyfikatorów i kodów. Następnie znajduję te identyfikatory i kody korzystając z jednego słownika (Znajdź na podstawie identyfikatora + Znajdź na podstawie kodu bez dodatkowego słownika) oraz z dwóch słowników (Znajdź na podstawie identyfikatora + Znajdź na podstawie kodu z dodatkowym słownikiem). Oto wyniki:

Liczba N	Liczba unikalnych identyfikatorów	Czas (ms) dla dwóch słowników	Czas (ms) dla jednego słownika
100	63	3	4
500	320	2	4
1000	639	2	6
5000	3169	2	96
10000	6326	4	370
50000	31579	14	9190

Czas mierzyłem dla trybu Release. Jak widać nawet dla małej liczby elementów dwa słowniki są szybsze i to pomimo konieczności zarządzania jednym słownikiem więcej. Dla dużej liczby elementów przewaga jest miażdżąca. Jest to kolejny przykład, jak ważne są dobrze dobrane struktury danych.

Na koniec zwrócę jeszcze uwagę, że dwa słowniki oznaczają większe zapotrzebowanie na pamięć. W moich eksperymentach dwa słowniki dla 10 tyś elementów zużyły ~0.5MB więcej pamięci niż 1 słownik, dla 50 tyś elementów ~1.3 MB więcej, a dla 100 tyś elementów ~3.3 MB więcej.

Quiz - coś do poduszki

Home

W poprzednim poście napisałem o zorganizowanym przez siebie Quiz'ie wiedzy o .NET i szeroko pojętym programowaniu. Jeden z czytelników poprosił o udostępnienie pytań i odpowiedzi. Nie zrobiłem tego od razu ale w ostatni weekend znalazłem chwilę czasu na zebranie wszystkich pytań/odpowiedzi do kupy, ujednolicenie formatowania itp. Dokument w formacie PDF dostępny jest na moim dysku SkyDrive:



Przy okazji będę wdzięczny ze wszelkie komentarze. Czy treść pytań jest zrozumiała? Czy pytania były łatwe, trudne, a może w sam raz? Czy ich tematyka podoba się Wam? Czy wzięlibyście udział w takim Quiz'ie? Zwróćcie również uwagę na pytanie 23 przy którym niestety zaliczyłem wpadkę i zdecydowałem się je anulować. Jeśli ktoś z Was potrafi wyjaśnić moje wątpliwości zapraszam do komentowania.

TPL Dataflow + problem filozofów

Home

Jakiś czas temu na blogu Piotrka Zielińskiego przeczytałem o TPL Dataflow Library czyli o bibliotece dostarczającej komponentów ułatwiających komunikację (przekazywanie danych) w środowisku wielowątkowym. Temat mnie zaciekawił i postanowiłem trochę pobawić się z tą technologią. Na tapecie nie miałem żadnego "prawdziwego" projektu, w którym dałoby się wykorzystać nową zabawkę, postanowiłem więc wykonać ćwiczenie umysłowe i rozwiązać klasyczny problem pięciu filozofów z użyciem TPL Dataflow.

W moim rozwiązaniu każda pojedyncza pałeczka do jedzenia ryżu reprezentowana jest przez instancję klasy BufferBlock<T&gt gdzie T to w tym przypadku klasa Chopstick (klasa wydmuszka, nie zawiera żadnych właściwości ani metod). BufferedBlock<T>to nic innego jak kolejka FIFO, która może mieć wielu czytelników i wielu zapisujących.

Filozof potrzebuje jednak dwóch pałeczek aby rozpocząć jedzenie. Aby spełnić to wymaganie używam klasy JoinBlock<T,Z> gdzie T i Z do znowu klasa Chopstick. JoinBlock działa w ten sposób, ze monitoruje dwa źródła danych i jeśli w obu źródłach równocześnie są dane to grupuje je i wysyła do słuchacza. W tym przypadku JoinBlock czeka na dwie wolne pałeczki.

var chopsticks = new JoinBlock<Chopstick, Chopstick>(new GroupingDataflowBlockOptions { MaxNumberOfGroups = 1 });

_left.LinkTo(chopsticks.Target1);
_right.LinkTo(chopsticks.Target2);

_chopsticks = chopsticks.Receive();

Ustawienie właściwości MaxNumberOfGroups jest konieczne, aby blok odczytał tylko dwa komunikaty. Odłożenie pałeczek na stół jest natomiast równoważne z wysłaniem komunikatu (pałeczki) z powrotem do bufora tak, aby oczekujący na nie filozofowie mogli rozpocząć jedzenie.

_left.SendAsync(_chopsticks.Item1);
_right.SendAsync(_chopsticks.Item2);

Do tego, aby filozofowie mogli informować świat zewnętrzny o tym, co robią, również użyłem klasy BufferBlock<T>. Za każdym razem kiedy jeden z filozofów kończy/rozpoczyna jedzenie wysyła komunikat ze swoim aktualnym stanem. Ja napisałem prostą aplikację w WinForms, która nasłuchuje na te komunikaty i odpowiednio uaktualnia UI.

private readonly BufferBlock<PhilosopherState> _philosophersState = new BufferBlock<PhilosopherState>();
...
_philosophersState.LinkTo(new ActionBlock<PhilosopherState>(state => UpdateState(state)), new DataflowLinkOptions());

Każdy filozof modelowany jest przez instancję klasy Philosopher i działa w swoim własnym wątku. Co jakiś losowy czas decyduje, co robić dalej tj.: kontynuować myślenie/jedzenie czy rozpocząć myślenie/jedzenie. Kiedy zbierzemy to wszystko do kupy, otrzymamy następujący kod.

Pokaż/Ukryj kod klasy Philosopher

namespace PhilosopherProblemWithDataFlows
{
    public class Philosopher
    {
        private const int SleepTime = 100;

        private readonly int _index;
        private readonly BufferBlock<Chopstick> _left;
        private readonly BufferBlock<Chopstick> _right;
        private readonly BufferBlock<PhilosopherState> _philosophersState;

        private bool _goHome;
        private Tuple<Chopstick, Chopstick> _chopsticks;

        public Philosopher(int index, BufferBlock<Chopstick> left, BufferBlock<Chopstick> right, BufferBlock<PhilosopherState> philosophersState)
        {
            _index = index;
            _left = left;
            _right = right;
            _philosophersState = philosophersState;
        }

        public void TakeASeat()
        {
            var rand = new Random((int)DateTime.Now.Ticks);

            while (true)
            {
                if (_goHome)
                {
                    PutChopsticks();                
                    return;
                }

                if (rand.Next() % 2 == 0)
                    Eat();
                else
                    Think();

                Thread.Sleep((rand.Next(10) + 1) * SleepTime);
            }
        }

        public void GoHome()
        {
            _goHome = true;
        }

        private void Eat()
        {
            if (_chopsticks == null)
            {
                var chopsticks =
                    new JoinBlock<Chopstick, Chopstick >(new GroupingDataflowBlockOptions { MaxNumberOfGroups  = 1 });

                _left.LinkTo(chopsticks.Target1);
                _right.LinkTo(chopsticks.Target2);

                _chopsticks = chopsticks.Receive();
                chopsticks.Complete();
            }

            _philosophersState.SendAsync(new PhilosopherState { Index = _index,  IsEating = true });
        }

        private void Think()
        {
            PutChopsticks();

            _philosophersState.SendAsync(new PhilosopherState { Index = _index,  IsEating = false});
        }

        private void PutChopsticks()
        {
            if (_chopsticks != null)
            {
                _left.SendAsync(_chopsticks.Item1);
                _right.SendAsync(_chopsticks.Item2);
                _chopsticks = null;
            }
        }
    }

    public class Chopstick
    {
    }

    public class PhilosopherState
    {
        public int Index { get; set; }
        public bool IsEating { get; set; }
    }
}

Pokaż/Ukryj kod okna Win Forms

namespace PhilosopherProblemWithDataFlows
{
    public partial class Form1 : Form
    {
        private readonly Color EatingColor = Color.Red;
        private readonly Color ThinkingColor = Color.Green;

        private readonly List<Label> _stateLabels = new List<Label>();
        private readonly List<Philosopher> _philosophers = new List<Philosopher>();
        private readonly BufferBlock<PhilosopherState> _philosophersState = new BufferBlock<PhilosopherState>();

        public Form1()
        {
            InitializeComponent();
            Closing += (sender, args) =>
                {
                    _philosophersState.Complete();
                    _philosophers.ForEach(p => p.GoHome());
                };

            _stateLabels.Add(philosopher1);
            _stateLabels.Add(philosopher2);
            _stateLabels.Add(philosopher3);
            _stateLabels.Add(philosopher4);
            _stateLabels.Add(philosopher5);
            _stateLabels.ForEach(l => l.BackColor = ThinkingColor);
            
            Start();
        }

        private void Start()
        {
            _philosophersState.LinkTo(new ActionBlock<PhilosopherState>(state => UpdateState(state)), new DataflowLinkOptions());

            var chopsticks = new[]
                {
                    new BufferBlock<Chopstick>(),
                    new BufferBlock<Chopstick>(),
                    new BufferBlock<Chopstick>(),
                    new BufferBlock<Chopstick>(),
                    new BufferBlock<Chopstick>()
                };

            foreach (var ch in chopsticks)
                ch.Post(new Chopstick());

            for (var i = 0; i < 5; ++i)
                _philosophers.Add(new Philosopher(
                            i,
                            chopsticks[i],
                            chopsticks[(i + 1) % 5],
                            philosophersState));

            for (var i = 0; i < 5; ++i)
            {
                var th = new Thread(_philosophers[i].TakeASeat);
                th.Start();
            }
        }

        private void UpdateState(PhilosopherState state)
        {
            var label = _stateLabels[state.Index];
            label.Invoke((MethodInvoker)delegate { label.BackColor = state.IsEating ? EatingColor : ThinkingColor; });
        }
    }
}

Kod designer'a pominąłem bo jest trywialny i zawiera tylko 5 etykiet o nazwach philosopher1, philosopher2 itd.

Na koniec mała zagadka. Moja implementacja zawiera pewne uproszczenie oryginalnego problemu 5 ucztujących filozofów. Jakie?

Quiz - rozruszaj towarzystwo

Home

Czy Wasza praca jest zawsze ciekawa i pełna wyznań, a może czasami Was nuży i zastanawiacie się jak ją urozmaicić?

Byłoby super gdyby każdy z nas mógł odpowiedzieć na to pytanie "Tak moja praca jest bardzo ciekawa i nigdy mnie nie nuży", ale w rzeczywistości bywa różnie. Zawsze można zmienić pracę, ale można również próbować zmienić coś w obecnej. Sceptycy pewnie powiedzą, a co ja mały trybik w wielkiej machinie mogę zrobić. Dużo zależy od firmy i bywają przypadki beznadziejne. Ja na rozruszanie zespołu proponuję zorganizować Quiz.

Ja postanowiłem coś takiego zrobić już po raz drugi w swojej karierze i jestem bardzo zadowolony z efektów. Odgórnym celem Quiz'u była zabawa i nauka. Zasady były proste:

• 10 tur po 3 pytania (łatwe, średnie i trudne) dotyczące szeroko pojętego programowania.
• Pytania przygotowałem za wczasu, tak aby nie musieć ich wymyślać co tydzień.
• Starałem się, aby odpowiedzi można było udzielić w jednym zdaniu, czasem wręcz jednym słowem, ewentualnie napisać kilka linijek kodu.
• Pytania rozsyłałem w poniedziałek rano i czekałem na odpowiedzi do końca dnia. Następnego dnia oceniałem wyniki, rozsyłałem odpowiedzi z komentarzami i aktualną statystykę (anonimowa lista).
• Udział był dobrowolny.
• Udział był anonimowy, każdy uczestnik miał przypisany identyfikator i tylko ja znałem mapowanie.
• Zwycięzca mógł wybrać sobie nagrodę ufundowaną przez firmę (wybrał przenośny dysk).

Do Quiz'u zgłosiło się 20 osób. Łącznie zadałem 9 łatwych pytań, 12 średnich oraz 9 trudnych za łącznie 60 punktów. Zwycięzca zdobył 52.5 punkty i walka trwała do ostatniej tury ponieważ druga osoba w rankingu miała 52 punkty, a trzecia i czwarta 51. Zebrane w całości pytania i odpowiedzi utworzyły 22 stronicowy dokument!

Quiz spodobał się i spotkał się z bardzo dobrym odbiorem również ze strony przełożonego, który dał pieniądze na nagrodę. Najbardziej cieszy mnie jednak to, że już kilkukrotnie słyszałem od kolegów, że w trakcie Quiz'u nauczyli się czegoś nowego.

Organizacja Quiz'u to również nauka dla mnie. Aby przygotować pytania i nie zaliczyć wpadki wiele zagadnień musiałem przestudiować dużo dokładniej. Nauczyłem się również jak, wbrew pozorom, trudne jest układanie pytań w taki sposób, aby były zrozumiałe dla wszystkich. Pomimo, że każde zadanie czytałem wielokrotnie zdarzało się, że musiałem odpowiadać na pytania i rozsyłać dodatkowe informacje.

Na koniec kilka przykładów pytań:

Łatwe

We have to measure an execution time with the maximum possible resolution/precision. It was implemented in the following way. Does this code meet this requirement? If yes, why? If not, propose a better solution.

var start = DateTime.Now;
//...
var end = DateTime.Now;

Średnie

.NET 4.5 introduces a new, easy and elegant way to retrieve a name of a method (caller) which executed/called a given method (calle).

public void Fun()
{
//Here, I want to get a name of a method that executed/called Fun method
}

Trudne

We want to use a class called  Fun, that  is defined in an external library. Unfortunately, a constructor of this class contains a bug which causes an exception. In other words, we can't create a new instance of Fun class, but we have to. You have to find a workaround. You mustn't modify Fun class.